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THÉORIE ÉLASTIQUE DE LA LUMIÈRE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ment $d\tau ,$ nous obtiendrons les équations du mouvement :

${\begin{aligned}\rho \,dx\,dy\,dz\cdot {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=&-\mathrm {P} _{xx}\,dy\,dz+\left(\mathrm {P} _{xx}+{\frac {d\mathrm {P} _{xx}}{dx}}dx\right)dy\,dz\\&-\mathrm {P} _{xy}\,dz\,dx+\left(\mathrm {P} _{xy}+{\frac {d\mathrm {P} _{xy}}{dy}}dy\right)dz\,dx\\&-\mathrm {P} _{xz}\,dx\,dy+\left(\mathrm {P} _{xz}+{\frac {d\mathrm {P} _{xz}}{dz}}dz\right)dx\,dy\\\end{aligned}}$

ou :

(1)

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d\mathrm {P} _{xx}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {P} _{xy}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{xz}}{dz}}$

et deux autres qu’on obtiendrait par permutation.

D’autre part :

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{xx}&=\mu \,{\frac {d\xi }{dx}}+\mu \,{\frac {d\xi }{dx}}+\lambda \theta \\[1.5ex]\mathrm {P} _{xy}&=\mu \,{\frac {d\xi }{dy}}+\mu \,{\frac {d\eta }{dx}}\\[1.5ex]\mathrm {P} _{xz}&=\mu \,{\frac {d\xi }{dz}}+\mu \,{\frac {d\zeta }{dx}}\\\end{aligned}}$

Substituons ces expressions dans l’équation (1), il vient :

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \Delta \xi +\mu \,{\frac {d\eta }{dx}}+\lambda \,{\frac {d\theta }{dx}}\cdot$

Les équations du mouvement seront donc :

(I)

${\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mu \,\Delta \xi +(\lambda +\mu ){\frac {d\theta }{dx}}\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mu \,\Delta \eta +(\lambda +\mu ){\frac {d\theta }{dy}}\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mu \,\Delta \zeta +(\lambda +\mu ){\frac {d\theta }{dz}}\cdot \\\end{aligned}}$