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PRINCIPE DE HUYGHENS
Posons
![{\displaystyle \varphi '={\frac {d\varphi }{ds}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e50db91195f4839ad3f96464c1502f2643c960)
et soient
et
les valeurs de
respectivement
aux points
et ![{\displaystyle \mathrm {M} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50176ce7d9cda57dc2b0647f64248d634cc5081d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{1}&=\varphi _{1}'\,ds_{1}\\d\varphi _{2}&=\varphi _{2}'\,ds_{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edd8463b81c9f0decdba237f8a8619be20d6617)
et en substituant il viendra :
![{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {R} }}\,\sigma '=\mathrm {X} _{1}\,\varphi _{1}'\,ds_{1}+\mathrm {X} _{2}\,\varphi _{2}'\,ds_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c6e2573ef3ac3e18038b0da51d52d54344f7c5)
et en multipliant par
et intégrant :
![{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {R} }}\int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr=\int \mathrm {X} \,\varphi '\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}ds=\int \mathrm {X} \,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee0fd44b1fdaeb25b7e631b3c5fa0862daf8d14)
cette intégrale étant comptée le long du bord de l’écran et
seulement dans les intervalles où
est du même ordre de
grandeur que ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Supposons donc que
soit un arc tel que
et par conséquent
soit de l’ordre de
il faut voir si l’intégrale
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34435a99823ef6d19eacb1732d61fee1f086a51b)
sera finie ou non.
Admettons que
varie toujours dans le même sens, de
à
et aille par exemple en croissant :
sera
reste inférieur à
une certaine quantité finie
est
Donc
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi <\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {L} \,d\varphi =\mathrm {L} (\varphi _{2}-\varphi _{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37f216852054c287b0855c239c1f9a0ccbca9b5)
Par conséquent, deux conditions sont nécessaires pour que
l’intégrale soit finie :