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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Posons

$\varphi '={\frac {d\varphi }{ds}}$

et soient $\varphi _{1}'$ et $\varphi _{2}'$ les valeurs de $\varphi '$ respectivement aux points $\mathrm {M} _{1}$ et $\mathrm {M} _{2}$

${\begin{aligned}d\varphi _{1}&=\varphi _{1}'\,ds_{1}\\d\varphi _{2}&=\varphi _{2}'\,ds_{2}\\\end{aligned}}$

et en substituant il viendra :

${\frac {a}{\mathrm {R} }}\,\sigma '=\mathrm {X} _{1}\,\varphi _{1}'\,ds_{1}+\mathrm {X} _{2}\,\varphi _{2}'\,ds_{2},$

et en multipliant par $e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}$ et intégrant :

${\frac {a}{\mathrm {R} }}\int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr=\int \mathrm {X} \,\varphi '\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}ds=\int \mathrm {X} \,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}d\varphi ,$

cette intégrale étant comptée le long du bord de l’écran et seulement dans les intervalles où $\sigma '$ est du même ordre de grandeur que $\alpha .$

Supposons donc que $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ soit un arc tel que $\sigma '$ et par conséquent ${\frac {d\varphi }{dr}},$ soit de l’ordre de $\alpha \,;$ il faut voir si l’intégrale

$\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi$

sera finie ou non.

Admettons que $\varphi$ varie toujours dans le même sens, de $\varphi _{1}$ à $\varphi _{2},$ et aille par exemple en croissant : $d\varphi$ sera $>0.$ $\mathrm {X}$ reste inférieur à une certaine quantité finie $\mathrm {L} .$ $e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}$ est $<1.$ Donc

$\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi <\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {L} \,d\varphi =\mathrm {L} (\varphi _{2}-\varphi _{1}).$

Par conséquent, deux conditions sont nécessaires pour que l’intégrale soit finie :