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PRINCIPE DE HUYGHENS

Nous aurons :
Fig. 16.

${\begin{array}{ccc}\quad &\quad \quad \\\quad &\displaystyle {\dfrac {a}{\mathrm {R} }}\,\sigma =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\!\!\mathrm {X} \,d\varphi .\quad \\\quad &\quad \quad \\\end{array}}$

Donnons à $r$ un accroissement $dr,$ nous obtenons le cercle $r+dr,$ qui rencontre le bord de l’écran en $\mathrm {M} '_{1}$ et $\mathrm {M} '_{2},$ la valeur de $\varphi$ en $\mathrm {M} '_{1}$ sera $\varphi _{1}+d\varphi _{1},$ et en $\mathrm {M} '_{2},$ $\varphi _{2}+d\varphi _{2}.$

Appliquons la règle des variations sous le signe $\textstyle \int$

${\frac {a}{\mathrm {R} }}\,\sigma '=\int {\frac {d\mathrm {X} }{dr}}\,d\varphi +\mathrm {X} _{1}\,{\frac {d\varphi _{1}}{dr}}-\mathrm {X} _{2}\,{\frac {d\varphi _{2}}{dr}}\cdot$

Nous ne savons pas comment varie $\mathrm {X} ,$ mais nous admettrons que $\mathrm {X}$ varie très lentement le long de la surface, puisque la phase doit rester la même ; ${\frac {d\mathrm {X} }{dr}}$ sera fini et aussi $\int {\frac {d\mathrm {X} }{dr}}\,d\varphi ,$ ce terme sera négligeable, puisque nous ne considérons que les intervalles où $\sigma '$ est très grand et que nous pouvons par conséquent négliger dans l’expression de $\sigma '$ les termes qui sont seulement de grandeur finie.

Supposons qu’on parcoure le bord de l’écran dans le sens indiqué par la flèche ; soit $s$ l’arc décrit dans ce sens :

${\begin{aligned}{\overline {\mathrm {M'_{2}M_{2}} }}&=ds_{2}\\{\overline {\mathrm {M_{1}M'_{1}} }}&=ds_{1}\\\end{aligned}}$

Quand on marche dans le sens de la flèche, $\varphi _{2}$ diminue de $d\varphi _{2},$ $\varphi _{1}$ augmente de $d\varphi _{1}.$