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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Nous partagerons cet intervalle en intervalles partiels : dans les uns, $\sigma '$ restera fini ; dans les autres $\sigma '$ deviendra très grand de l’ordre de $\alpha .$ Nous pourrons négliger les intervalles où $\sigma '$ reste fini, comme nous allons le montrer.

Soit en effet $r_{2}-r_{3}$ un de ces intervalles, nous pouvons toujours admettre que $\sigma '$ varie constamment dans le même sens, c’est-à-dire que $\sigma ''$ conserve toujours le même signe, sans quoi nous n’aurions qu’à subdiviser l’intervalle $r_{2}-r_{3}$ en intervalles partiels où ce signe ne changerait pas.

Intégrons par parties :

$\int \sigma '\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr=-{\frac {\sigma '\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{{\sqrt {-1}}\,\alpha }}+{\frac {1}{{\sqrt {-1}}\,\alpha }}\int \sigma ''\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.$

Le terme intégré est négligeable : en effet $e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}$ est $<1\,;$ $\sigma '$ est fini ; le rapport ${\frac {\sigma '}{\alpha }}$ est négligeable, puisque $\alpha$ est très grand ; d’autre part puisque $\sigma ''$ a toujours le même signe :

$\int \sigma ''e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr<\int \sigma ''\,dr$

ou

$\int \sigma ''e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr<\sigma '_{3}-\sigma '_{2}$

cette quantité est finie, son quotient par $\alpha$ est donc négligeable. Il nous suffira par conséquent de tenir compte des intervalles où $\sigma '$ devient très grand, du même ordre de grandeur que $\alpha .$

Représentons le bord de l’écran : soient $\mathrm {M_{1},}$ $\mathrm {M} _{2}$ les points où le cercle $r$ rencontre ce bord (fig. 16),

$\mathrm {X} _{1},\,\varphi _{1}$ les valeurs de $\mathrm {X}$ et de $\varphi$ en $\mathrm {M} _{1}$, $\mathrm {X} _{2},$ $\varphi _{2}$ ces valeurs en $\mathrm {M} _{2}.$