Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/166

154

PRINCIPE DE HUYGHENS

103. Revenons au cas de la sphère. — Il résulte de ce qui précède que le terme tout connu est nul à la limite supérieure, qu’à la limite inférieure il est nul si le point $\mathrm {Q}$ est sur l’écran, et si le point $\mathrm {Q}$ n’est pas sur l’écran, il est égal à

${\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}.$

En général l’intégrale du deuxième membre est négligeable, et on a simplement

$\xi ={\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}.$

Dans ces conditions, $\xi$ a donc la même valeur au point $\mathrm {P}$ qu’au point $\mathrm {Q}$ au facteur près ${\frac {\mathrm {R} }{a}}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}$ qui exprime la variation de l’amplitude avec la distance $\left({\frac {\mathrm {R} }{a}}\right)$ et la différence de phase $\left(e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}\right)\,;$ on trouve par conséquent la même valeur de $\xi$ que dans la théorie géométrique des ombres.

— Si le point $\mathrm {P}$ est à l’intérieur de la sphère, $\mathrm {X}$ est nul au point $\mathrm {Q} '$ et au point $\mathrm {Q} ,$ car en chacun de ces points $\psi =\pi$ et $\cos \psi =-1,$ donc $\sigma =0$ et $\xi =0.$

104. Puisqu’on négligeant l’intégrale

$\int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr$

nous retrouvons les propriétés géométriques des ombres, c’est cette intégrale qui doit représenter l’influence des phénomènes de diffraction.

L’intégration doit être effectuée entre les limites $r_{0}$ et $r_{1}.$