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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

À la limite inférieure, le terme tout connu se réduit donc à :

$-{\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}.$

2^o Le point $\mathrm {Q}$ est sur l’écran, $r_{0}$ est la plus courte distance de $\mathrm {P}$ au bord de l’écran ; pour $r=r_{0}-\varepsilon ,$ le cercle $r_{0}-\varepsilon$ est tout entier sur l’écran et $\sigma =0\,;$ pour $r=r_{0}+\varepsilon ,$ il y a au contraire un arc infiniment petit du cercle sur la portion éclairée ; $\sigma$ est infiniment petit et tend vers $0$ en même temps que $\varepsilon \,;$ le terme tout connu est donc nul à la limite inférieure.

Il faut faire la même discussion pour la limite supérieure $r_{1}.$

En effet, si la sphère est entièrement éclairée ou au moins si le point $\mathrm {Q} '$ est sur la partie éclairée, $r_{1}=\mathrm {PQ} '$ et

$\sigma =2\pi \,{\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\mathrm {X} =2\pi \,{\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\xi '_{0}\,(1+\cos \psi )\,;$

seulement au point $\mathrm {Q} '$ on a

$\psi =\pi \qquad \qquad \cos \psi =-1,$

et par suite $\sigma$ est nul.

Si $\mathrm {Q}$ est sur l’écran, $r_{1}$ est la plus grande distance de $\mathrm {P}$ au bord de l’écran ; pour $r=r_{1}-\varepsilon ,$ il y a sur la partie éclairée un arc infiniment petit du cercle $r_{1}-\varepsilon \,;$ cet arc tend vers $0$ en même temps que $\varepsilon .$ Donc à la limite supérieure $\sigma$ est encore nul. — Ces résultats s’étendent aux cas où la surface limite n’est pas une sphère ; quand le point n’est pas sur l’écran, on trouve en appelant $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {C} _{2}$ les centres de courbure principaux situés sur la normale $\mathrm {PQ}$

$\sigma =4\pi \xi '_{0}{\sqrt {\frac {\mathrm {QC} _{1}.\mathrm {QC} _{2}}{\mathrm {PC} _{1}.\mathrm {PC} _{2}}}}\cdot$