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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

À cause de la grandeur de $\alpha ,$ le second terme est négligeable et il reste

${\frac {d\varphi '}{dn}}=-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\cos \psi .$

Remplaçons dans notre formule :

$\int \left[\xi '\left(-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\cos \psi \right)-{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\left(-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,\xi '\cos \theta \right)\right]d\omega '={\bigg \{}_{\displaystyle \;0}^{\displaystyle -4\pi \xi }$

ou :

$\int \xi 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,{\frac {d\omega '}{r}}\left(-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,\cos \psi +{\sqrt {-1}}\,\alpha \,\cos \theta \right)={\bigg \{}_{\displaystyle \;0}^{\displaystyle -4\pi \xi }$

Dans les applications on choisit toujours pour la surface $\mathrm {S}$ la surface de l’onde, la lumière se propageant vers l’extérieur ; la normale correspondant aux $w$ croissants est dirigée vers l’extérieur : en général on considère un point de l’espace extérieur à $\mathrm {S} \,;$ ${\frac {d\xi }{dn}}$ se rapporte donc à la normale intérieure et il faut prendre $\theta =\pi$ ou $\cos \theta =-1$

$\int {\frac {-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,\xi 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\left(1+\cos \psi \right)}{r}}\,d\omega '={\bigg \{}_{\displaystyle -4\pi \xi }^{\displaystyle \;0}$

relation qui exprime le principe de Huyghens. Comparons en effet les conséquences de cette relation avec celles du principe de Huyghens tel que l’applique Fresnel.

101. Fresnel suppose que $\xi$ est connu sur la surface $\mathrm {S}$ par