Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/156

144

PRINCIPE DE HUYGHENS

sente la projection sur l’axe des $x$ du déplacement d’une molécule d’éther, on aura :

(3)

$\xi =\int {\frac {\psi (x',\,y',\,z')e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r'}\,d\tau '}{r'}},$

$d\tau '$ représente un élément de volume occupé par les sources lumineuses $x',\,y',\,z'$ sont les coordonnées de cet élément ; $\psi$ est une fonction de $x',\,y',\,z'$ et $r'$ la distance de $x,\,y,\,z$ à $x',\,y',\,z'.$ Si le point $x,\,y,\,z$ est sur la sphère $\mathrm {S} ',$ et que le rayon de cette sphère soit très grand, ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ différera très peu de ${\frac {1}{r'}}$ et il viendra, aux infiniment petits près du deuxième ordre :

$\xi '={\frac {1}{\mathrm {R} }}\int \psi e^{{\sqrt {-1}}pt-{\sqrt {-1}}\alpha r}\,d\tau '\,;\;\;{\frac {d\xi '}{dn}}={\frac {-i\alpha }{\mathrm {R} }}\int \psi e^{{\sqrt {-1}}pt-{\sqrt {-1}}\alpha r}\,d\tau .$

Car ${\frac {dr}{dn}}$ est égal à $1$ à des infiniment petits près. La quantité sous le signe $\textstyle \int$ est donc du troisième ordre, et comme la surface de la sphère est très grande, du deuxième ordre, l’intégrale tend vers $0.$ Le théorème est donc vrai ; mais, pour qu’il en soit ainsi, il ne suffit pas que $\xi$ s’annule à l’infini, il faut encore qu’il soit de la forme (3).

Il en résulte que, si on donne les valeurs de $\xi$ et de ${\frac {d\xi }{dn}}$ en tous les points de la surface limite $\mathrm {S} ,$ la formule donne la valeur de $\xi$ en un point quelconque du volume $\mathrm {T} .$ Mais, en général, il ne sera possible de se donner arbitrairement que l’un des systèmes de valeurs, soit $\xi ,$ soit ${\frac {d\xi }{dn}},$ parce que ces