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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\xi '$ sera la valeur de $\xi$ au point $(x',\,y',\,z')$ centre de gravité de $d\omega ',$ c’est-à-dire en un point de la surface limite $\mathrm {S} \,;$ $\varphi '$ dépendant de $r$ est fonction à la fois de $x,\,y,\,z$ et de $x',\,y',\,z'.$

99. Le théorème s’applique-t-il encore quand le volume considéré $\mathrm {T}$ est la portion de l’espace extérieure à une certaine surface $\mathrm {S} \,?$

Soit $\mathrm {S} '$ une sphère dont le rayon $\mathrm {R}$ soit très grand et puisse être regardé comme un infiniment grand du premier ordre.

On pourra alors appliquer le théorème au volume $\mathrm {T}$ compris entre la surface $\mathrm {S}$ et la sphère $\mathrm {S} ',$ puisque ce volume ne s’étend pas à l’infini. On aura donc :

$\int _{\mathrm {S} }\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '+\int _{\mathrm {S} '}\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '\!=0\;\mathrm {ou} \,-4\pi \xi$

la première intégrale est étendue à la surface $\mathrm {S}$ et la seconde à la sphère $\mathrm {S} '.$ Pour que le théorème s’applique à la région de l’espace extérieure à $\mathrm {S} ,$ il suffit que

$\lim \int _{\mathrm {S} '}\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '=0,$

quand $\mathrm {R}$ croît indéfiniment.

Il est clair d’abord que $\varphi '$ et ${\frac {d\varphi '}{dn}}$ sont des infiniment petits du premier ordre, et que l’on a en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre :

$\varphi '={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{\mathrm {R} }},\quad {\frac {d\varphi '}{dn}}=-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{\mathrm {R} }}\cdot$

D’autre part nous avons vu à la fin du n^o 97 que, si $\xi$ repré-