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ÉTUDE DE L’ÉQUATION FONDAMENTALE

98. Principe de Huyghens. — En poursuivant l’étude des analogies que présentent les fonctions $\xi$ avec le potentiel newtonien, nous pourrons en déduire, ainsi que l’a fait pour la première fois Kirchhoff, le principe de Huyghens comme une généralisation d’une conséquence du théorème de Green.

Rappelons d’abord l’énoncé de ce théorème.

Considérons un certain volume $\mathrm {T}$ limité par une surface fermée $\mathrm {S} \,:$ soient $d\tau$ un élément du volume $\mathrm {T} ,$ $d\omega$ un élément de la surface $\mathrm {S} \,;$ $r$ est la distance du point $(x',\,y',\,z')$ au centre de gravité $(x,\,y,\,z)$ de l’élément $d\omega$ de la surface qui limite le volume. Les intégrales doubles doivent être étendues à tous les éléments $d\omega$ de cette surface ; les intégrales triples, à tous les éléments $d\tau$ de $\mathrm {T} .$

Deux cas sont à distinguer :

1^o Le point $(x',\,y',\,z')$ est extérieur au volume $\mathrm {T} \,;$

2^o Le point $(x',\,y',\,z')$ est intérieur au volume.

Je conviens enfin de désigner par $\xi '$ la valeur de $\xi$ au point $(x',\,y',\,z').$ On a, d’après le théorème de Green :

$\int \left(\xi {\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi {\frac {d\xi }{dn}}\right)\,d\omega =\int \left(\xi \,\Delta \varphi -\varphi \,\Delta \xi \right)\,d\tau$

si les fonctions $\xi$ et $\varphi$ sont finies et continues ainsi que leurs dérivées à l’intérieur du volume $\mathrm {T} .$

Supposons maintenant que, $\xi$ jouissant encore de toutes ces propriétés, $\varphi$ devienne infini en un point $(x',\,y',\,z')$ de l’intérieur du volume, mais de manière que $\lim \varphi r=1$ pour $r=0.$ L’énoncé du théorème doit alors être modifié et il faut écrire :

$\int \left(\xi {\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi {\frac {d\xi }{dn}}\right)\,d\omega =\int \left(\xi \,\Delta \varphi -\varphi \,\Delta \xi \right)\,d\tau -4\pi \xi ',$

$\xi '$ étant la valeur de $\xi$ pour $r=0.$