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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

La somme

$\xi =\int {\frac {f(x',\,y',\,z')e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\tau '+\int {\frac {f_{1}(x',\,y',\,z')e^{+{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\tau '$

vérifie aussi l’équation : elle renferme deux fonctions arbitraires ; il semble donc qu’elle doive convenir à la question. Mais il n’en est rien, comme nous allons le montrer.

Soit, en effet, une source de lumière homogène ; prenons pour origine du temps l’instant où commence le mouvement. Ce mouvement étant périodique, pour $t>0,$ $f$ sera de la forme :

$f(x',\,y',\,z',\,t)=\varphi (x',\,y',\,z')\,e^{{\sqrt {-1}}\,pt}$

pour $t<0,$ on a $f=0.$

Supposons que $t$ soit assez grand et $r$ assez petit pour que $t-{\frac {r}{\mathrm {V} }}>0,$ ou en d’autres termes, que le régime soit établi, alors :

$\xi =\int {\frac {\varphi (x',\,y',\,z')\,e^{{\sqrt {-1}}\,p\left(t-{\frac {r}{\mathrm {V} }}\right)}}{r}}\,d\tau '=\int {\frac {\varphi \,e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\tau '$

$\alpha$ doit avoir le signe $-\,;$ c’est donc seulement la première intégrale qui convient à la question. C’est pour cette raison que la solution ${\frac {\sin \alpha r\cos pt}{r}}$ ne convient pas à la question, ainsi qu’on l’a expliqué plus haut.

Nous étudierons donc en particulier le cas où la loi d’attraction est telle que le potentiel de la masse $1$ placée au point $(x',\,y',\,z')$ soit à une distance $r$ égale à ${\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\cdot$