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ÉTUDE DE L’ÉQUATION FONDAMENTALE

Théorème. — Si une fonction $\xi$ vérifie l’équation :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi +4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t)$

que pour $t=0,$ on ait en tout point de l’espace

$\xi =0\qquad {\frac {d\xi }{dt}}=0$

et que $\xi$ s’annule à l’infini, cette fonction $\xi$ est entièrement déterminée.

96. En écrivant l’équation

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi$

pour représenter le mouvement de l’éther, nous avons supposé que ce fluide n’était pas soumis à d’autres forces que les forces d’élasticité, produites par les actions mutuelles des molécules.

Cette condition n’est plus remplie au point où il existe une source lumineuse ; d’autres forces s’ajoutent alors aux forces d’élasticité et il faut ajouter au second membre de l’équation un terme complémentaire, qui est une fonction arbitraire de $(x,\,y,\,z,\,t)\,:$

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi +4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t)$

ce terme représente l’effet des forces qui produisent le mouvement lumineux des sources.

Cela étant, nous nous proposons de résoudre le problème suivant :

Supposons qu’avant l’instant choisi pour origine du temps