Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/148

136

PRINCIPE DE HUYGHENS

Le problème est déterminé et il existe une seule fonction $\xi$ remplissant ces diverses conditions.

Admettons en effet qu’il y en ait deux, $\xi$ et $\xi _{1},$ de sorte que pour $t=0$

$\xi =\xi _{1}=\alpha$

${\frac {d\xi }{dt}}={\frac {d\xi _{1}}{dt}}=\beta$

sur la surface :

$\xi =\xi _{1}=\gamma ,$

et que

${\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{1}=4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t).$

Il est facile de voir alors que la fonction $\xi -\xi _{1}$ jouit des propriétés suivantes :

Pour $t=0,$ $\xi -\xi _{1}$ est nul ainsi que sa dérivée ${\frac {d(\xi -\xi _{1})}{dt}}\cdot$

Sur toute la surface

$\xi -\xi _{1}=0$

et enfin

${\frac {d^{2}(\xi -\xi _{1})}{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta (\xi -\xi _{1})$

Cette fonction est donc identiquement nulle et $\xi =\xi _{1}.$

Il est probable, sans qu’on ait pu encore le démontrer, qu’il existe toujours une solution.

Si nous considérions le volume extérieur à la surface fermée, en ajoutant la condition que $\xi$ soit nul à l’infini, le théorème serait vrai encore pour ce volume entier.

Il peut donc être étendu à tout l’espace et énoncé comme il suit :