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ÉTUDE DE L’ÉQUATION FONDAMENTALE

D’après le théorème de Green,

$\int \sum {\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d^{2}\xi }{dx\,dt}}\,d\tau =\int {\frac {d\xi }{dt}}{\frac {d\xi }{dn}}\,d\omega -\int {\frac {d\xi }{dt}}\Delta \xi \,d\tau .$

Mais sur la surface $\xi =0$ et ${\frac {d\xi }{dt}}=0\,:$ donc la première intégrale est nulle et il reste seulement

${\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\int {\frac {d\xi }{dt}}\left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi \right)\,d\tau ,$

la parenthèse est nulle identiquement ; donc $\mathrm {W} =\mathrm {C^{te}} .$

Pour $t=0,$ $\mathrm {W}$ est nul par hypothèse.

Par conséquent $\mathrm {W}$ est identiquement nul. Comme le coefficient de $d\tau$ dans $d\mathrm {W}$ est une somme de carrés, il faut que chacun de ces carrés soit nul : c’est-à-dire que

${\frac {d\xi }{dt}}=0\qquad {\frac {d\xi }{dx}}={\frac {d\xi }{dy}}={\frac {d\xi }{dz}}=0,$

autrement dit que $\xi$ soit identiquement nul.

Supposons maintenant qu’on donne les valeurs que prennent $\xi$ et${\frac {d\xi }{dt}}$ en chaque point du volume pour $t=0\,;$ soient par exemple $\xi =\alpha ,$ ${\frac {d\xi }{dt}}=\beta ,$ $\alpha$ et $\beta$ étant des fonctions des coordonnées $(x,\,y,\,z),$ et la valeur de $\xi$ sur la surface limite : $\xi =\gamma .$ $\gamma$ sera une fonction de $(x,\,y,\,z,\,t)\,;$ supposons de plus qu’à l’intérieur du volume $\xi$ vérifie l’équation :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi =4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t),$

$f$ étant une fonction donnée.