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PRINCIPE DE HUYGHENS

l’équation de Laplace, cette fonction est identiquement nulle.

Si la fonction doit prendre sur la surface des valeurs données $\xi _{0},$ il y aura une fonction et une seule satisfaisant à cette condition.

Cette propriété ne peut être étendue aux solutions de l’équation :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\alpha ^{2}\Delta \xi =0.$

En effet, prenons par exemple la fonction ${\frac {\sin \alpha r}{r}}\cdot$ Cette fonction vérifie l’équation, elle s’annule sur la sphère $r={\frac {\pi }{\alpha }}$ et cependant n’est pas nulle identiquement.

Pour que le principe de Dirichlet pût se généraliser, il faudrait que $\alpha ^{2}$ fût négatif.

95. Envisageons maintenant l’équation

$\mathrm {V} ^{2}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi .$

Considérons un volume limité par une surface fermée, sur laquelle on ait constamment $\xi =0\,;$ supposons que pour $t=0,$ $\xi =0$ et ${\frac {d\xi }{dt}}=0,$ la fonction $\xi$ étant une solution de l’équation : $\xi$ sera identiquement nul.

En effet, prenons l’expression :

$\mathrm {W} ={\frac {1}{2}}\int \left[\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\mathrm {V} ^{2}\left\{\left({\frac {d\xi }{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {d\xi }{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {d\xi }{dz}}\right)^{2}\right\}\right]\,d\tau ,$

la somme étant étendue à tous les éléments du volume.

${\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\int \left({\frac {d\xi }{dt}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\mathrm {V} ^{2}\sum {\frac {d^{2}\xi }{dx\,dt}}{\frac {d\xi }{dx}}\right)\,d\tau .$