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PRINCIPE DE HUYGHENS

de l’autre :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\int {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,d\tau '$

$\Delta \xi ={\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}\int {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,d\tau '-4\pi f(x',\,y',\,z',\,t)$

relation qui est la généralisation de l’équation de Poisson et qui peut s’écrire encore :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi +4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x',\,y',\,z',\,t).$

94. La même généralisation peut se faire dans le cas d’une surface attirante.

Soit $d\omega '$ l’élément de surface ayant pour coordonnées $(x',\,y',\,z').$

$\xi =\int {\frac {f\left(x',\,y',\,z',\,t-{\dfrac {r}{\mathrm {V} }}\right)}{r}}\,d\omega '=\int \varphi \,d\omega '.$

En dehors de la surface attirante, $\xi$ satisfait à l’équation fondamentale et est continu ainsi que ses dérivées. Sur la surface même, le potentiel newtonien est continu quand on traverse la surface, mais non sa dérivée ${\frac {d\mathrm {V} }{dn}}\cdot$

En deux points infiniment voisins situés sur une même normale, mais, de part et d’autre de la surface, les valeurs de ${\frac {d\mathrm {V} }{dn}}$ diffèrent de $4\pi \delta ,$ $\delta$ étant la densité superficielle.

Posons :

$\xi _{1}=\int {\frac {f(x',\,y',\,z',\,t)}{r}}\,d\omega '=\int \varphi _{1}\,d\omega ',$