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ÉTUDE DE L’ÉQUATION FONDAMENTALE

représente le potentiel newtonien du volume, rempli d’une matière attirante dont la densité (variable avec le temps) serait $f(x',\,y',\,z',\,t).$

Par suite, l’équation de Poisson nous donne :

(1)

${\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}=\int {\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dt^{2}}}\,d\tau '$

(2)

$\Delta \xi _{1}=-4\pi f(x',\,y',\,z',\,t).$

Considérons l’expression :

$\xi -\xi _{1}=\int (\varphi -\varphi _{1})\,d\tau '.$

Comme $\varphi -\varphi _{1}$ reste fini, nous pouvons différencier sous le signe $\textstyle \int$ et écrire :

(3)

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}=\int \left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dt^{2}}}\right)d\tau '$

$\Delta \xi -\Delta \xi _{1}=\int \left(\Delta \varphi -\Delta \varphi _{1}\right)d\tau '.$

Or :

$\Delta \varphi ={\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\quad$ et $\quad \Delta \varphi _{1}=0.$

D’où :

(4)

$\Delta \xi -\Delta \xi _{1}={\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}\int {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,d\tau '$

Ajoutons membre à membre (1) et (3) d’une part, (2) et (4)