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PRINCIPE DE HUYGHENS

comme on a :

${\begin{aligned}e^{-{\sqrt {-1}}{\frac {p}{\mathrm {V} }}r}&=e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\\[1ex]f(r-\mathrm {V} t)&=e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}e^{{\sqrt {-1}}\,pt}.\\\end{aligned}}$

D’où :

$\xi ={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}e^{{\sqrt {-1}}\,pt}}{r}}\cdot$

Cette expression vérifie l’équation :

$\Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0\,;$

il en est de même de la fonction :

$\xi _{0}={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}$

et de la suivante :

$\xi _{1}={\frac {e^{+{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}$

obtenue en changeant $\alpha$ en $-\alpha ,$ puisque l’équation ne contient que $\alpha ^{2}.$

Enfin les parties réelles et imaginaires de $\xi _{1}$ et $\xi _{2}$ sont séparément des solutions, ce qui nous conduit finalement aux solutions :

$\xi ={\frac {\cos \alpha r}{r}}\qquad \quad \xi ={\frac {\sin \alpha r}{r}}\cdot$

La seconde de ces fonctions présente une circonstance particulière, qui doit fixer notre attention. Tandis que toutes les autres deviennent infinies pour $r=0,$ celle-ci reste finie et égale à $\alpha$ pour $r=0\,;$ de plus, $\xi$ est très petit pour $r$ très grand.