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ÉTUDE DE L’ÉQUATION FONDAMENTALE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

étant défini par l’égalité :

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

D’après une transformation bien connue :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {d^{2}\xi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\xi }{dr}}\right)\cdot$

En posant $\xi ={\frac {\varphi }{r}},$ cette équation se ramène à la forme de l’équation d’une corde vibrante :

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}$

dont l’intégrale générale est, comme on le sait :

$\varphi =f(r-\mathrm {V} t)+f_{1}(r+\mathrm {V} t).$

Par suite :

$\xi ={\frac {f(r-\mathrm {V} t)}{r}}+{\frac {f_{1}(r+\mathrm {V} t)}{r}}\cdot$

D’après la forme de l’équation différentielle, $f$ et $f_{1}$ en sont des solutions particulières.

Nous avons supposé que :

$\xi _{0}=\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}pt}.$

Pour qu’il en soit ainsi, comme $\xi _{0}$ est seulement fonction de $r,$ il faut que ${\frac {f(r-\mathrm {V} t)}{r}}$ se réduise à $f(r)e^{{\sqrt {-1}}pt},$ ce qui exige que :

$f(r-\mathrm {V} t)=e^{-{\sqrt {-1}}{\frac {p}{\mathrm {V} }}(r-\mathrm {V} t)}$