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PRINCIPE DE HUYGHENS

La valeur de $\xi$ correspondant au phénomène physique sera la partie réelle de cette dernière solution.

Posons :

$\xi _{1}-{\sqrt {-1}}\xi _{2}=\xi _{0}.$

Alors :

${\frac {d^{2}\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}pt}}{dt^{2}}}=-p^{2}\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}pt}.$

Remplaçons dans l’équation fondamentale

$\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi ={\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}$

et supprimons le facteur $e^{{\sqrt {-1}}pt},$ il vient :

$\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{0}=-p^{2}\xi _{0}$

ou :

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{1}&=-p^{2}\xi _{1}\\[1ex]\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{2}&=-p^{2}\xi _{2}\\\end{aligned}}\right.$

Posons, pour abréger, ${\frac {p}{\mathrm {V} }}=\alpha ,$ ceci pourra s’écrire :

$\Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0.$

Nous avons ainsi à considérer deux équations. Ces équations rappellent par leur forme celle de Laplace $\Delta \xi =0$ qui définit le potentiel newtonien.

90. Nous allons tâcher de faire ressortir les relations qui peuvent exister, en raison de cette analogie, entre les fonctions $\xi$ et le potentiel newtonien.

À cet effet, supposons que $\xi$ ne dépende que de $t$ et de $r,$ $r$