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PROPAGATION DE LA LUMIÈRE NON PARALLÈLE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$p$ étant un très grand nombre (comme ci-dessus). $\mathrm {A}$ est une fonction quelconque de $(u,\,v,\,w).$ Je suppose que ces dérivées sont finies, ce qui sera vrai en tous les points du faisceau, sauf en général sur les bords.

Il résultera de cette hypothèse que les termes seront de grandeur très différente suivant qu’ils contiendront en facteur $p,\,p^{2}\dots$ ou ne contiendront pas $p.$ Aussi ne conserverons-nous que les termes renfermant au moins $p$ en facteur.

Alors les termes

${\begin{aligned}{\frac {d}{du}}\left({\frac {bc}{a}}\,{\frac {d\xi }{du}}\right)&=\cos p(w-\mathrm {V} t)\left({\frac {d}{du}}\,{\frac {bc}{a}}\,{\frac {d\mathrm {A} }{du}}\right),\\[1.5ex]{\frac {d}{dv}}\left({\frac {ca}{b}}\,{\frac {d\xi }{dv}}\right)&=\cos p(w-\mathrm {V} t)\left({\frac {d}{dv}}\,{\frac {ca}{b}}\,{\frac {d\mathrm {A} }{dv}}\right)\\\end{aligned}}$

seront négligeables.

Posons pour abréger

$p(w-\mathrm {V} t)=\omega ,$

il vient :

${\begin{aligned}{\frac {abc}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&={\frac {s}{\mathrm {V} ^{2}}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dt^{2}}}\cos \omega +2\,{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\,p\mathrm {V} \sin \omega -p^{2}\mathrm {V} ^{2}\mathrm {A} \cos \omega \right)\\[1.5ex]{\frac {d\xi }{dw}}&={\frac {d\mathrm {A} }{dw}}\cos \omega -p\,\mathrm {A} \,\sin \omega \\[1.5ex]s\,{\frac {d\xi }{dw}}&=s\,{\frac {d\mathrm {A} }{dw}}\cos \omega -ps\mathrm {A} \,\sin \omega \\[1.5ex]{\frac {d}{dw}}\left(s\,{\frac {d\xi }{dw}}\right)&={\frac {d}{dw}}\left(s\,{\frac {d\mathrm {A} }{dw}}\right)\cos \omega -ps\,{\frac {d\mathrm {A} }{dw}}\sin \omega -p\mathrm {A} \,{\frac {ds}{dw}}\sin \omega \\&\qquad -ps\,{\frac {d\mathrm {A} }{dw}}\sin \omega -p^{2}\mathrm {A} s\cos \omega .\\\end{aligned}}$

Le premier terme ne contenant pas $p$ est négligeable, il