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PROPAGATION DE LA LUMIÈRE NON PARALLÈLE

systèmes de surfaces :

$u=\mathrm {C^{te}} ,\quad v=\mathrm {C^{te}} ,\quad w=\mathrm {C^{te}} .$

Nous prendrons comme nouvelles coordonnées $u,\,v,\,w,$ et nous supposerons que les surfaces forment un système triple orthogonal.

Considérons deux points dont les coordonnées soient $(u,v,w),$ $(u+du,\,v,\,w),$ autrement dit deux points infiniment voisins situés sur une normale à la surface $u=\mathrm {C^{te}} \,;$ j’appellerai $a\,du$ la distance de ces deux points. De même $b\,dv$ sera la distance de deux points $(u,v,w),$ $(u,\,v+dv,\,w),$ infiniment voisins situés sur une normale à la surface $v=\mathrm {C^{te}} \,;$ $c\,dw,$ la distance des deux points $(u,v,w),$ $(u,\,v,\,w+dw)\dots$ etc., $a,\,b,\,c$ étant des fonctions de $(x,y,z).$

On démontre alors que :

$abc\,\Delta \xi ={\frac {d}{du}}\left({\frac {bc}{a}}{\frac {d\xi }{du}}\right)+{\frac {d}{dv}}\left({\frac {ca}{b}}{\frac {d\xi }{dv}}\right)+{\frac {d}{dw}}\left({\frac {ab}{c}}{\frac {d\xi }{dw}}\right)\cdot$

Et l’équation

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi$

devient dans ce nouveau système

${\frac {abc}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d}{du}}\left({\frac {bc}{a}}{\frac {d\xi }{du}}\right)+\cdots$

Nous ferons en outre sur les systèmes de surfaces une hypothèse particulière. Les surfaces $w=\mathrm {C^{te}}$ seront des surfaces parallèles : les trajectoires orthogonales

$\left\{{\begin{aligned}u=\mathrm {C^{te}} \\v=\mathrm {C^{te}} \\\end{aligned}}\right.$