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ÉTUDE DES FAISCEAUX TRÈS DÉLIÉS

Substituons à $\xi$ son expression dans l’équation

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi .$

On a :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&={\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dz^{2}}}\varphi +2{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}{\frac {d\varphi }{dz}}+\mathrm {A} {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\\[1ex]{\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}&=\mathrm {A} {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}\\[1ex]{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}&=\mathrm {A} {\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}\\\end{aligned}}$

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dt^{2}}}\varphi +2{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}{\frac {d\varphi }{dt}}+\mathrm {A} {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\right)={\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}$

$\mathrm {A} \Delta \varphi ={\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\cdot$

Additionnons ces sept relations membre à membre et faisons les réductions ; il vient :

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}\left[{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dt^{2}}}\varphi +2{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}{\frac {d\varphi }{dt}}\right]={\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dz^{2}}}\varphi +2{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}{\frac {d\varphi }{dz}}\cdot$

D’autre part :

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}&=\;\mathrm {J} _{0}(h\rho )\,{\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}\sin 2\pi \left({\frac {z}{l}}-{\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\\[1.5ex]{\frac {d\varphi }{dz}}&=-\mathrm {J} _{0}(h\rho )\,{\frac {2\pi }{l}}\sin 2\pi \left({\frac {z}{l}}-{\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Or ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}$ et ${\frac {2\pi }{l}}$ sont des nombres très grands, les autres facteurs sont de l’ordre de $\varphi \,:$ ${\frac {d\varphi }{dt}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}}$ sont donc très grands vis-à-vis de $\varphi$ et les termes qui contiennent seulement $\varphi$ peuvent être négligés en regard de ceux qui contiennent ces dérivées.