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PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE

Pour $x$ suffisamment grand, $\mathrm {J} _{0}$ est représenté asymptotiquement par

$\mathrm {J} _{0}=\cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right){\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}$

À partir d’un certain moment, $\mathrm {J} _{0}$ est donc $<{\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cdot$ Ainsi pour $x>64,$ $\mathrm {J} _{0}$ est toujours plus petit que ${\frac {1}{10}}\cdot$

Reprenons l’équation fondamentale

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi .$

Supposons en particulier que $\xi$ soit une fonction de $z,$ de $t$ et de $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ autrement dit que $\xi$ ne change pas quand les axes tournent d’un angle quelconque autour de $\mathrm {O} z.$ L’équation prend alors la forme :

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\xi }{d\rho }}+{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\cdot$

Posons :

$\xi =\mathrm {A} \,\mathrm {J} _{0}(h\rho )\,\cos 2\pi \left({\frac {z}{l}}-{\frac {t}{\mathrm {T} }}\right)\cdot$

$\mathrm {A} ,\,h,\,l,\,\mathrm {T}$ étant des constantes.

$\mathrm {T}$ est la période, $l$ une quantité analogue à la longueur d’onde $\lambda =\mathrm {VT} .$ Nous pourrons appeler $l$ longueur d’onde apparente par opposition à la longueur d’onde normale $\lambda .$

Pour que $\xi$ satisfasse à l’équation fondamentale, il faut que ces quatre constantes soient liées par une relation. En effet :

${\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\xi }{d\rho }}+h^{2}\xi =0,$