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POLARISATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE PARALLÈLE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

en posant

$\mathrm {P} ={\sqrt {-1}}\,p\left({\frac {z}{\mathrm {V} }}-t\right)\cdot$

Substituons et supprimons le facteur $e^{\mathrm {P} }.$

$\mathrm {V} ^{2}\Delta \mathrm {A} +2{\sqrt {-1}}\,p\,\mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}-p^{2}\mathrm {A} ={\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dt^{2}}}-2{\sqrt {-1}}\,p\,{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}-p^{2}\mathrm {A}$

ou

(1)

$2{\sqrt {-1}}\,p\left(\mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}+{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\right)={\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \mathrm {A} .$

$p$ étant très grand, nous pouvons développer $\mathrm {A}$ suivant les puissances croissantes ${\frac {1}{p}}\cdot$

$\mathrm {A} =\mathrm {A} _{0}+{\frac {\mathrm {A} _{1}}{p}}+\mathrm {{\frac {\mathrm {A} _{2}}{p^{2}}}+\cdots }$

Substituons dans l’équation et identifions les coefficients des mêmes puissances de ${\frac {1}{p}}\cdot$

${\begin{aligned}\mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {A} _{0}}{dz}}+{\frac {d\mathrm {A} _{0}}{dt}}&=0\\[1.5ex]2{\sqrt {-1}}\left(\mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {A} _{1}}{dz}}+{\frac {d\mathrm {A} _{1}}{dt}}\right)&={\frac {d^{2}\mathrm {A} _{0}}{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \mathrm {A} _{0}\\[1.5ex]2{\sqrt {-1}}\left(\mathrm {V} \,{\frac {d\mathrm {A} _{2}}{dz}}+{\frac {d\mathrm {A} _{2}}{dt}}\right)&={\frac {d^{2}\mathrm {A} _{1}}{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \mathrm {A} _{1}\\&\qquad \qquad \qquad \mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Ces relations permettent de résoudre le problème.

En général les dérivées ${\frac {d^{2}\mathrm {A} _{0}}{dt^{2}}},\,\dots \,$ etc. seront finies, la seconde équation donnera une valeur finie pour $\mathrm {A} _{1}\,:$ ${\frac {\mathrm {A} _{1}}{p}}$ sera négli-