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ÉTUDE DES ONDES SPHÉRIQUES

Retranchons la deuxième de la première, il vient :

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi .$

Il est facile en outre de vérifier que :

${\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=0$

identiquement. Les fonctions $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ satisfont donc bien aux conditions demandées.

82. De même pour les équations de la théorie électromagnétique, il suffira de trouver trois solutions indépendantes de l’équation fondamentale ; à l’aide de celles-là, on pourra en former d’autres vérifiant l’équation de continuité.

Soient en effet $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\varphi _{3},$ trois fonctions satisfaisant à l’équation :

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \varphi .$

Posons :

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {d^{2}\varphi _{3}}{dt\,dy}}-{\frac {d^{2}\varphi _{2}}{dt\,dz}}\\[1.5ex]\beta &={\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dt\,dz}}-{\frac {d^{2}\varphi _{3}}{dt\,dx}}\\[1.5ex]\gamma &={\frac {d^{2}\varphi _{2}}{dt\,dx}}-{\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dt\,dy}}\cdot \\\end{aligned}}$

On vérifierait comme dans le cas précédent que ces fonctions sont bien des solutions de l’équation fondamentale ; $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont formés avec ${\frac {d\varphi _{1}}{dt}},\,{\frac {d\varphi _{2}}{dt}},\,{\frac {d\varphi _{3}}{dt}},$ comme $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ avec $u,\,v,\,w$ et ces dérivées ${\frac {d\varphi }{dt}}$ satisfont aussi à l’équation fondamentale. Il