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PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE

avec

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=0.$

Comme dans le premier cas, le problème se ramène à trouver trois solutions de l’équation fondamentale, ces trois solutions devant obéir à une relation différentielle.

81. Mais le problème peut se simplifier encore, car il suffit de trouver trois solutions indépendantes de l’équation pour former celles qui nous conviennent.

Soient en effet, $u,\,v,\,w,$ trois solutions indépendantes de l’équation fondamentale

(1)

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta u,\;\mathrm {etc.}$

Faisons :

${\begin{aligned}\xi &={\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\\[1.5ex]\eta &={\frac {du}{dz}}-{\frac {dw}{dx}}\\[1.5ex]\zeta &={\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\cdot \\\end{aligned}}$

$\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ ainsi déterminés satisferont à toutes les conditions.

En effet, puisque $u,\,v,\,w$ sont des solutions de l’équation fondamentale, on a :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left({\frac {dw}{dy}}\right)&=\mathrm {V} ^{2}\Delta \left({\frac {dw}{dy}}\right)\\[1.5ex]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left({\frac {dv}{dz}}\right)&=\mathrm {V} ^{2}\Delta \left({\frac {dv}{dz}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$