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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

à un mouvement longitudinal. Nous aurons, d’après ce qui précède :

$\xi _{2}={\frac {d\varphi }{dx}},\qquad \qquad \eta _{2}={\frac {d\varphi }{dy}},\qquad \qquad \zeta _{2}={\frac {d\varphi }{dz}},$

et, par suite,

$\xi =\xi _{1}+{\frac {d\varphi }{dx}},\qquad \eta =\eta _{1}+{\frac {d\varphi }{dy}},\qquad \zeta =\zeta _{1}+{\frac {d\varphi }{dz}},$

$\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1},$ satisfaisant à l’équation différentielle des mouvements transversaux,

${\frac {d\xi _{1}}{dx}}+{\frac {d\eta _{1}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{1}}{dz}}=0.$

Différentions successivement $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ par rapport à $x,$ $y,$ $z$ et additionnons : nous aurons

${\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}={\frac {d\xi _{1}}{dx}}+{\frac {d\eta _{1}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{1}}{dz}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}},$

relation qui, d’après nos hypothèses, se réduit à

$\Theta =\Delta \varphi .$

D’après l’équation de Poisson, la somme des dérivées secondes du potentiel en un point est égale à $-4\pi \rho ,\rho$ étant la densité de la matière attirante au point considéré ; on aura donc une fonction $\varphi$ satisfaisant à la relation

$\Theta =\Delta \varphi$

en cherchant le potentiel dû à l’attraction d’une matière at-