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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
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31. La première de ces égalités donne la valeur de la composante de la pression suivant l’axe des
en posant
![{\displaystyle -{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}=\mathrm {P} _{xx},\quad -{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{y}}}=\mathrm {P} _{xy},\quad -{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{z}}}=\mathrm {P} _{xz},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a49896ac24436f191be07d03f4357bb1263699)
l’expression de cette composante devient :
![{\displaystyle \mathrm {P} _{x}=\alpha \mathrm {P} _{xx}+\beta \mathrm {P} _{xy}+\gamma \mathrm {P} _{xz}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4873bd9fe4f49650bd82d4bbe9dff7669f709c8)
Considérons l’une des quantités
qui entrent dans cette expression, on a :
![{\displaystyle \mathrm {P} _{xx}=-{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}=-{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '_{x}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2001f39a503c5357b4b9ab5df68f959a1d9ff129)
Or
est une fonction linéaire et homogène des dérivées partielles,
une fonction du second degré de ces mêmes quantités, donc le premier terme de
est une constante et le second une fonction du premier degré des dérivées partielles. Lorsque le milieu est dans sa position d’équilibre, les quantités
sont nulles et, comme zéro est un minimum pour ces quantités, leurs dérivées
sont nulles aussi ; le second terme de
disparaît et la valeur de
dans la position d’équilibre est :
![{\displaystyle \mathrm {P} _{xx}=-{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '_{x}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6c763eef4a3fb92ffc996baad34dacff07924b)
Si l’on se reporte à la valeur de
que nous avons trouvée