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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

Un élément de volume $dx\,dy\,dz$ devient donc, après la déformation, $(1+\Theta )dx\,dy\,dz\,;$ par suite $\Theta$ est le coefficient de dilatation cubique du milieu.

22. Revenons à notre équation en $\alpha .$ Le coefficient du terme en $-\alpha$ est :

(26)

$\mathrm {K} =\xi '_{x}\eta '_{y}-\xi '_{y}\eta '_{y}+\eta '_{y}\zeta '_{z}-\eta '_{z}\zeta '_{y}+\zeta '_{z}\xi '_{x}-\zeta '_{x}\xi '_{z}.$

C’est un troisième polynôme isotrope qui peut s’écrire :

$\mathrm {K} ={\frac {\mathrm {D} \left(\xi ,\eta \right)}{\mathrm {D} \left(x,y\right)}}+{\frac {\mathrm {D} \left(\eta ,\zeta \right)}{\mathrm {D} \left(y,z\right)}}+{\frac {\mathrm {D} \left(\zeta ,\xi \right)}{\mathrm {D} \left(z,x\right)}}\cdot$

23. Les trois polynômes isotropes du second degré $\mathrm {H} ,$ $\Theta ^{2},$ $\mathrm {K} ,$ sont trois polynômes indépendants. Il ne peut y en avoir d’autres, car, s’il y en avait quatre, tous les corps jouissant de la symétrie cubique, pour laquelle la fonction $\mathrm {W} _{2}$ est une somme de quatre polynômes du second degré et indépendants, jouiraient en même temps de l’isotropie. D’ailleurs le premier des polynômes qui entre dans $\mathrm {W} _{2}$ dans le cas des corps à symétrie cubique (18) :

${\xi '}_{x}^{2}+{\eta '}_{y}^{2}+{\zeta '}_{z}^{2}$

n’est pas un polynôme isotrope, car il change quand on fait tourner les axes, comme il est facile de s’en convaincre en faisant tourner les axes des $x$ et des $y$ de $45^{\circ }$ dans le plan des $xy.$

24. Expression de $\mathrm {W} _{2}$ dans le cas des corps isotropes. — La fonction $\mathrm {W} _{2}$ ne peut contenir que les trois polynômes isotropes que nous venons de trouver, et comme cette fonction est homogène et du second degré par rap-