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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

cette intégrale devient, lorsqu’on prend pour variables $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma \,:$

$\iiint \Phi (\alpha ,\beta ,\gamma ){\frac {\mathrm {D} (x,y,z)}{\mathrm {D} (\alpha ,\beta ,\gamma )}}\,d\alpha \,d\beta \,d\gamma ,$

${\frac {\mathrm {D} (x,y,z)}{\mathrm {D} (\alpha ,\beta ,\gamma )}}$ désignant le déterminant fonctionnel de $x,$ $y,$ $z$ par rapport à $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma .$ En nous appuyant sur ce théorème nous aurons, pour l’expression du volume après la déformation :

$\iiint {\frac {\mathrm {D} \left[\left(x+\xi \right),\,\left(y+\eta \right),\,\left(z+\zeta \right)\right]}{\mathrm {D} \left(x,\,y,\,z\right)}}\,dx\,dy\,dz.$

Le déterminant fonctionnel qui entre dans cette intégrale a pour valeur :

${\begin{vmatrix}1+\xi '_{x}&\xi '_{y}&\xi '_{z}\\\eta '_{x}&1+\eta '_{y}&\eta '_{z}\\\zeta '_{x}&\zeta '_{y}&1+\zeta '_{z}\end{vmatrix}}$

et si, dans le développement de ce déterminant, on néglige les puissances des dérivées qui sont supérieures au premier degré, on obtient :

$1+\xi '_{x}+\eta '_{y}+\zeta '_{z}$

c’est-à-dire

$1+\Theta .$

Si nous portons cette valeur du déterminant fonctionnel dans l’intégrale qui donne le volume après la déformation, nous obtenons :

$\iiint (1+\Theta )dx\,dy\,dz.$