Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/375

361

RÉFLEXION

Nous considérerons toujours deux milieux séparés par une couche de passage extrêmement mince ; cette couche de passage sera limitée par deux plans parallèles, à savoir par le plan des $xy$ et par un plan infiniment voisin. Dans chacun des deux milieux les coefficients de $\mathrm {W} _{2}$ conserveront des valeurs constantes ; dans la couche de passage au contraire ils varieront très rapidement. Remarquons de plus que, si l’un des plans qui limitent la couche de passage est pris pour plan des $xy,$ ces coefficients seront fonctions de $z$ seulement.

On aura alors par exemple :

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{z}'}}=gu+bv+ew,$

et

${\frac {d}{dz}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{z}'}}=g\,{\frac {du}{dz}}+b\,{\frac {dv}{dz}}+e\,{\frac {dw}{dz}}+u\,{\frac {dg}{dz}}+v\,{\frac {db}{dz}}+w\,{\frac {de}{dz}}\cdot$

Je dis maintenant que les équations que je viens d’écrire équivalent aux hypothèses de Neumann et Mac-Cullagh.

219. Densité de l’éther. — En premier lieu elles entraînent le principe des forces vives et la constance de la densité de l’éther. En effet nous avons vu dans le chapitre I^er que si $\rho$ est la densité de l’éther et que $\textstyle \int \mathrm {W} _{2}d\tau$ représente la fonction des forces, l’équation du mouvement s’écrira

(2)

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{x}'}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{y}'}}-{\frac {d}{dz}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{z}'}}\cdot$

Cette équation devient identique à l’équation (1) si l’on y fait $\rho =1.$