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RÉFLEXION

Écrivons que la vitesse de propagation dans le premier milieu est $i\varepsilon ,$ il viendra

${\frac {b^{2}}{a^{2}-h^{2}}}=-\varepsilon ^{2}\qquad \mathrm {ou} \qquad h={\sqrt {a^{2}+{\frac {b^{2}}{\varepsilon ^{2}}}}}\cdot$

On trouve de même

$h'={\sqrt {a^{2}+{\frac {b^{2}}{\varepsilon '^{2}}}}}\cdot$

Nous voyons d’abord que $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ étant très petits, $h$ et $h'$ seront très grands. Par conséquent les facteurs $e^{hz}$ (dans le premier milieu où $z<0$) et $e^{-h'z}$ (dans le second milieu où $z>0$) seront très petits à moins que la valeur absolue de $z$ ne soit très petite. Il n’y aura donc de lumière longitudinale sensible que dans le voisinage immédiat du plan de séparation ce qui explique pourquoi elle est inobservable et n’absorbe pas de force vive.

Écrivons que la vibration $(\xi _{2},\,\eta _{2},\,\zeta _{2})$ est longitudinale ; nous aurons :

(2)

${\frac {d\zeta _{2}}{dy}}-{\frac {d\eta _{2}}{dz}}={\frac {d\xi _{2}}{dz}}-{\frac {d\zeta _{2}}{dx}}={\frac {d\eta _{2}}{dx}}-{\frac {d\xi _{2}}{dy}}=0.$

Cela montre que ${\frac {d\zeta _{2}}{dy}}-{\frac {d\eta _{2}}{dz}}$ est continu ; il en est de même de ${\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}}$ puisque d’après le principe de Cauchy, $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ sont continus ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Donc ${\frac {d\zeta _{1}}{dy}}-{\frac {d\eta _{1}}{dz}}$ est continu, de même que ${\frac {d\xi _{1}}{dz}}-{\frac {d\zeta _{1}}{dx}},$ ${\frac {d\eta _{1}}{dx}}-{\frac {d\xi _{1}}{dy}}\cdot$ Ainsi si l’on ne considère que la lumière transversale observable les quantités que nous avons appelées plus haut $u,\,v,\,w$ sont continues comme dans la théorie de Fresnel.