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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

avoir différentiées respectivement par rapport à $x,$ $y$ et $z\,;$ il vient :

${\frac {d(\rho \xi )}{dx}}+{\frac {d(\rho \eta )}{dy}}+{\frac {d(\rho \zeta )}{dz}}=0,$

ce qui nous donne ici,

${\frac {d(\rho \zeta )}{dz}}=ia\rho \xi .$

Cela prouve d’abord que $\rho \zeta$ est une fonction continue et comme $\rho$ est discontinu, $\zeta$ ne pourra être continu à moins d’être nul.

De plus $\xi$ étant continu il en résulte que

${\frac {1}{\rho }}{\frac {d(\rho \zeta )}{dz}}$

est continu. Mais dans les deux milieux $\rho$ est constant $d\rho =0,$ de sorte que cette expression se réduit à ${\frac {d\zeta }{dz}}\cdot$

Ainsi, par le calcul rigoureux qui précède nous retrouvons les mêmes résultats auxquels une intuition heureuse avait conduit Fresnel : les fonctions $\xi ,\,\eta ,$ $u,\,v,\,w$ et ${\frac {d\zeta }{dz}}$ sont continues, tandis que $\zeta$ est discontinu.

En écrivant ces conditions, il vient

(15)

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} +\mathrm {A} '&=\mathrm {A} '',&\qquad \mathrm {B} +\mathrm {B} '&=\mathrm {B} ''.\\[1ex]\mathrm {A} c-\mathrm {C} a+\mathrm {A} 'c-\mathrm {C} 'a&=\mathrm {A} ''c'-\mathrm {C} ''a,&\qquad \mathrm {B} c-\mathrm {B} 'c&=\mathrm {B} ''c',\\\end{alignedat}}$

auxquelles il faut joindre les conditions de transversalité :

$\mathrm {A} a+\mathrm {C} c=\mathrm {A} 'a-\mathrm {C} 'c=\mathrm {A} ''a-\mathrm {C} ''c'=0.$