339
RÉFLEXION
Si nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}}&=u,&{\frac {d\xi }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dx}}&=v,&{\frac {d\eta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dy}}&=w,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb9eb19976e31e7e9d87138c98db64ee3d77d6a)
les équations du mouvement deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&={\frac {dv}{dz}}-{\frac {dw}{dy}},\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&={\frac {dw}{dx}}-{\frac {du}{dz}},\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&={\frac {du}{dy}}-{\frac {dv}{dx}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0da93e14f8a1b5eb693c6b29b7ca1b48a605b7)
ou :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dz}}&=iaw+\rho b^{2}\eta ,&{\frac {dv}{dz}}&=-\rho b^{2}\xi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7de52c23471f0eee38e1352a7396057a0e6389)
Ces équations montrent que les dérivées
et
sont finies ;
et comme la couche de passage est extrêmement mince, les
valeurs de
et
des deux côtés de cette couche seront extrêmement
peu différentes. Donc
et
sont des fonctions continues
et par conséquent finies.
On a
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dz}}=v+ia\zeta ,\qquad \quad {\frac {d\eta }{dz}}=-u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae186874c10933a32fdc77ba74d87459abe72f7)
Ainsi les dérivées de
et de
sont finies et par conséquent
et
sont continues. Comme on a d’autre part
![{\displaystyle w=ia\eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ebc20788d7ff702ea4f2b130bb5747b1bc240a)
on voit que
est aussi continue.
Si l’on ajoute les trois équations du mouvement après les