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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

203. Premières conséquences. — Si nous divisons l’équation (8) par la seconde des équations (5) il vient :

(10)

${\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}(\mathrm {B} _{1}-\mathrm {B} _{2})={\frac {\gamma _{3}}{\alpha _{3}}}\mathrm {B} _{3}.$

Si dans l’équation (9) nous remplaçons $\mathrm {C_{1},\,C_{2}}$ et $\mathrm {C} _{3}$ par leurs valeurs tirées de (6) il vient :

${\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}\left(1+{\frac {\alpha _{1}^{2}}{\gamma _{1}^{2}}}\right)\left(\mathrm {A} _{1}^{2}-\mathrm {A} _{2}^{2}\right)={\frac {\gamma _{3}}{\alpha _{3}}}\left(1+{\frac {\alpha _{3}^{2}}{\gamma _{3}^{2}}}\right)\mathrm {A} _{3}^{2}$

ou en divisant par la première équation (5),

${\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}\left(1+{\frac {\alpha _{1}^{2}}{\gamma _{1}^{2}}}\right)\left(\mathrm {A} _{1}-\mathrm {A} _{2}\right)={\frac {\gamma _{3}}{\alpha _{3}}}\left(1+{\frac {\alpha _{3}^{2}}{\gamma _{3}^{2}}}\right)\mathrm {A} _{3},$

ou

(11)

${\frac {\mathrm {A} _{1}-\mathrm {A} _{2}}{\alpha _{1}\gamma _{1}}}={\frac {\mathrm {A} _{3}}{\alpha _{3}\gamma _{3}}}\cdot$

Les deux équations (8) et (9) peuvent donc être remplacées par les équations (10) et (11) qui ont l’avantage d’être linéaires.

L’équation (10) peut s’écrire (si l’on se rappelle que $\gamma _{2}=-\gamma _{1},$ $\lambda _{2}=\lambda _{1},$ $\left.{\frac {\alpha _{1}}{\lambda _{1}}}={\frac {\alpha _{3}}{\lambda _{3}}}\right)\,:$

(12)

${\frac {\mathrm {B} _{1}\gamma _{1}}{\lambda _{1}}}+{\frac {\mathrm {B} _{2}\gamma _{2}}{\lambda _{2}}}={\frac {\mathrm {B_{3}} \gamma _{3}}{\lambda _{3}}}\cdot$

De même l’équation (11) peut s’écrire

$\mathrm {A} _{1}\left({\frac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}+{\frac {\alpha _{1}}{\gamma _{1}}}\right)+\mathrm {A} _{2}\left({\frac {\gamma _{2}}{\alpha _{2}}}+{\frac {\alpha _{2}}{\gamma _{2}}}\right)=\mathrm {A} _{3}\left({\frac {\gamma _{3}}{\alpha _{3}}}+{\frac {\alpha _{3}}{\gamma _{3}}}\right),$

ou en tenant compte des équations (6)

${\frac {\mathrm {A} _{1}\gamma _{1}-\mathrm {C} _{1}\alpha _{1}}{\alpha _{1}}}+{\frac {\mathrm {A} _{2}\gamma _{2}-\mathrm {C} _{2}\alpha _{2}}{\alpha _{2}}}={\frac {\mathrm {A} _{3}\gamma _{3}-\mathrm {C} _{3}\alpha _{3}}{\alpha _{3}}}\cdot$