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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

et puisque $\alpha _{1}=n\alpha _{3},$ on arrive à la loi connue de la réfraction

$\sin i=n\sin r.$

La théorie de Fresnel conduit donc très simplement aux lois élémentaires de la réflexion et de la réfraction.

D’autre part les équations (2) deviennent :

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}\alpha _{1}\cos(\mathrm {P} _{1}+\omega _{1})+\mathrm {C} _{1}\gamma _{1}\cos(\mathrm {P} _{1}+\omega _{1}'')=0,\\[1.5ex]\mathrm {A} _{2}\alpha _{2}\cos(\mathrm {P} _{2}+\omega _{2})+\mathrm {C} _{2}\gamma _{2}\cos(\mathrm {P} _{2}+\omega _{2}'')=0,\\[1.5ex]\mathrm {A} _{3}\alpha _{3}\cos(\mathrm {P} _{3}+\omega _{3})+\mathrm {C} _{3}\gamma _{3}\cos(\mathrm {P} _{3}+\omega _{3}'')=0.\\\end{aligned}}$

Ces équations ne peuvent être vérifiées identiquement que si l’on a

${\begin{array}{c}\mathrm {A} _{1}\alpha _{1}+\mathrm {C} _{1}\gamma _{1}=\mathrm {A} _{2}\alpha _{2}+\mathrm {C} _{2}\gamma _{2}=\mathrm {A} _{3}\alpha _{3}+\mathrm {C} _{3}\gamma _{3}=0\\[1.25ex]\omega _{1}=\omega _{1}'',\qquad \quad \omega _{2}=\omega _{2}'',\qquad \quad \omega _{3}=\omega _{3}''.\\\end{array}}$

Si le rayon incident est polarisé rectilignement on aura $\omega _{1}=\omega _{1}'\,;$ de sorte que les neuf quantités $\omega$ seront égales ; nous pourrons supposer alors que l’origine des temps a été choisie de telle sorte que ces neuf quantités soient nulles.

Il nous restera donc entre les quantités $\mathrm {A,\,B}$ et $\mathrm {C}$ les relations :

(5)

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2}&=\mathrm {A} _{3},&\mathrm {B} _{1}+\mathrm {B} _{2}&=\mathrm {B} _{3},\end{aligned}}$

(6)

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}\alpha _{1}&+\mathrm {C} _{1}\gamma _{1}=0,\\[1ex]\mathrm {A} _{2}\alpha _{1}-\mathrm {C} _{2}\gamma _{1}=0&,\qquad \mathrm {A} _{3}\alpha _{3}+\mathrm {C} _{3}\gamma _{3}=0.\\\end{aligned}}$

202. Application du principe des forces vives. — Pour pouvoir appliquer le principe des forces vives, il faut supposer qu’une portion seulement de l’éther est ébranlée ;