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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

La somme des deux derniers termes de $\mathrm {W} _{2}$ est donc une fonction homogène et du second degré de ces six quantités ; par suite elle ne contiendra que $21$ coefficients arbitraires ($6$ coefficients pour les carrés et $15$ pour les doubles produits).

17. Nous voyons déjà que, dans le cas le plus général, la fonction $\mathrm {W} _{2}$ ne contiendra que $21+6=27$ coefficients arbitraires, nombre qui se réduira à $21$ quand la pression extérieure sera nulle dans l’état d’équilibre.

Dans l’hypothèse des forces centrales, nous avons vu (11) que l’on avait :

${\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}=0.$

Le troisième terme du développement (20) de $\mathrm {W} _{2}$ disparaît, et si, dans le second terme, on remplace $\rho _{1}^{2}$ par sa valeur tirée de la relation (22), on constate que, parmi les $21$ coefficients, six sont égaux deux à deux. Ainsi on a :

${\begin{aligned}{\text{coef. de }}\;\left({\frac {d\xi }{dy}}+{\frac {d\eta }{dx}}\right)^{2}&={\text{coef. de }}\;2{\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\eta }{dy}}\cdot \\[1.5ex]{\text{coef. de }}\;2{\frac {d\zeta }{dz}}\left({\frac {d\xi }{dy}}+{\frac {d\eta }{dx}}\right)&={\text{coef. de }}\;2\left({\frac {d\eta }{dz}}+{\frac {d\zeta }{dy}}\right)\left({\frac {d\zeta }{dx}}+{\frac {d\xi }{dz}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Le nombre des coefficients arbitraires se trouve alors réduit à $15.$

En résumé, nous aurons dans $\mathrm {W} _{2}\,:$

1^o $27$ coefficients arbitraires dans le cas général ;

2^o $21$ coefficients quand la pression extérieure est nulle dans l’état d’équilibre et que les forces ne sont pas centrales ;

3^o $21$ coefficients quand les forces sont centrales et la