Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/326

312

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

équations dans lesquelles les coefficients satisfont aux relations imposées par le mode de formation des seconds membres.

Elles se simplifient quand on prend pour axes des $x$ et des $y$ les directions rectangulaires des deux vibrations de Neumann. Elles doivent alors être satisfaites pour les valeurs de $\xi$ et $\eta$ correspondant à ces vibrations quand on néglige les dérivées du troisième ordre. Or si on fait $\xi =\mathrm {A} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},$ $\eta =0,$ coordonnées de l’extrémité de la vibration parallèle à l’axe des $x,$ la seconde donne $b=0.$ Par conséquent, par ce choix d’axes de coordonnées les équations précédentes se réduisent à

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=a\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+\alpha \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\beta \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}}\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=c\,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}-\beta \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\gamma \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}}\cdot \\\end{aligned}}$

193. En faisant des hypothèses particulières sur les coefficients des termes de $\mathrm {W} _{2}$ qui contiennent des dérivées secondes et qui, par conséquent, donnent les termes $\mathrm {F,\,G,\,H}$ des équations du mouvement, Mac-Cullagh est arrivé à des équations dans lesquelles $\alpha =\gamma =0.$ Nous allons montrer que sans faire aucune hypothèse sur la fonction $\mathrm {W} _{2}$ on a toujours $\alpha =\gamma =0.$

D’après le mode de formation des seconds membres des équations du mouvement le terme de $\mathrm {W} _{2}$ qui pourrait donner $\alpha {\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}$ dans $\mathrm {F}$ devrait être de la forme $\alpha {\frac {d\xi }{dz}}{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}$ ou $\alpha \xi '_{z}\xi _{z}''.$ Cherchons les deux termes qu’il donnera dans $\mathrm {F} .$ Nous