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DOUBLE RÉFRACTION

et $t$ par un même facteur, ce qui revient à changer simultanément et dans un même rapport l’unité de longueur et celle de temps.

Soit :

$\mathrm {A} \lambda ^{P}\mathrm {D} ^{m}f$

un terme quelconque du premier membre de notre équation ; $\mathrm {A}$ est une constante indépendante de $\lambda$ et $\mathrm {D} ^{m}f$ une des dérivées partielles d’ordre $m$ de $f.$ Quand on changera $\lambda ,\,x,\,y,\,z$ et $t$ en $k\lambda ,\,kx,\,ky,\,kz,$ et $kt,$ ce terme se trouvera multiplié par $k^{p-m}.$ Pour que l’équation ne change pas, il faut que $m-p$ ait même valeur pour tous les termes de l’équation. Nous multiplierons notre équation par une puissance de $\lambda$ telle que $m-p$ soit égal à $1.$

Alors les coefficients des dérivées du premier ordre ne contiendront pas $\lambda \,;$ ceux des dérivées du second ordre contiendront le facteur $\lambda \,;$ ceux des dérivées du troisième ordre contiendront le facteur $\lambda ^{2}\,;$ et ainsi de suite. Mais $\lambda$ étant très petit, nous pouvons négliger les termes qui contiennent ce facteur ; il ne nous restera plus alors que les dérivées du premier ordre et l’équation en $f$ s’écrira

$\mu \,{\frac {df}{dx}}+\mu '{\frac {df}{dy}}+\mu ''{\frac {df}{dz}}+{\frac {df}{dt}}=0$

$\mu ,\,\mu ',\,\mu ''$ étant des constantes.

L’intégrale générale de cette équation sera :

$f=$ fonction arbitraire de $x-\mu t,\,y-\mu 't,$ et $z-\mu ''t,$

ce qui veut dire que les cosinus directeurs du rayon lumineux sont proportionnels à $\mu ,\,\mu '$ et $\mu ''$ et que la vitesse de propagation, estimée non pas normalement au plan de l’onde, mais dans la direction du rayon est ${\sqrt {\mu ^{2}+\mu '^{2}+\mu ''^{2}}}.$