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DOUBLE RÉFRACTION

Nous avons déjà vu que $\textstyle \sum \mathrm {A} \alpha =0$ et $\textstyle \sum \mathrm {A} ^{2}={\dfrac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}\,;$ par suite nous aurons pour le carré du rayon vecteur de la surface d’onde

$r^{2}=\mathrm {V} ^{2}+\mathrm {H} ^{2}.$

En portant cette valeur de $\mathrm {V} ^{2}+\mathrm {H} ^{2}$ dans l’expression précédemment obtenue de ${\frac {x\mathrm {H} }{\mathrm {V} }},$ nous obtiendrons

${\frac {x\mathrm {H} }{\mathrm {V} }}=\mathrm {A} (a-r^{2}),$

ou

${\frac {x}{r^{2}-a}}=-{\frac {\mathrm {AV} }{\mathrm {H} }},$

et par symétrie,

${\begin{aligned}{\frac {y}{r^{2}-b}}&=-{\frac {\mathrm {BV} }{\mathrm {H} }},\\[1.5ex]{\frac {z}{r^{2}-c}}&=-{\frac {\mathrm {CV} }{\mathrm {H} }}\cdot \\\end{aligned}}$

Nous avons ainsi des quantités proportionnelles à $\mathrm {A,\,B,\,C}$ qui portées à la place de $\mathrm {A,\,B,\,C}$ dans l’équation (IV) nous donneront

${\frac {ax^{2}}{r^{2}-a}}+{\frac {by^{2}}{r^{2}-b}}+{\frac {cz^{2}}{r^{2}-c}}=0\,;$

c’est l’équation de la surface d’onde sous sa forme la plus simple.

Cette surface paraît être du sixième degré ; il est facile de montrer par le développement de l’équation précédente qu’elle est seulement du quatrième degré. On aura en chas-