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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

On verrait de la même manière que les valeurs moyennes des dérivées partielles par rapport à $y$ et à $z$ sont respectivement $\mathrm {M} _{0}$ et $\mathrm {N} _{0}.$

174. Valeurs des vitesses de propagation. — La relation,

$\psi =\mathrm {L} _{0}x+\mathrm {M} _{0}y+\mathrm {N} _{0}z+\chi$

nous montre que $\psi$ dépend linéairement de $\mathrm {L_{0},\,M_{0},\,N_{0}} \,;$ par suite il en sera de même des dérivées partielles, $\mathrm {L,\,M,\,N} ,$ de cette fonction. La fonction $\rho \,(\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} )$ et sa valeur moyenne seront donc des fonctions homogènes du second degré de $\mathrm {L_{0},\,M_{0},\,N_{0}} .$ Par un choix convenable des axes de coordonnées, que jusqu’ici nous avons laissés arbitraires, nous pourrons faire disparaître les termes rectangles de la valeur moyenne et nous aurons

${\frac {\mathrm {L} _{0}^{2}}{a}}+{\frac {\mathrm {M} _{0}^{2}}{b}}+{\frac {\mathrm {N} _{0}^{2}}{c}}={\Big [}\rho \left(\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} \right){\Big ]}_{0}$

Si nous donnons à $\mathrm {L} _{0}$ un accroissement $\delta \mathrm {L} _{0}$ il en résultera un accroissement ${\frac {2\mathrm {L} _{0}\,\delta \mathrm {L} _{0}}{a}}$ de la valeur moyenne de $\rho (\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} ).$ Or, cet accroissement a également pour valeur

$2{\Big [}\rho \left(\mathrm {L} \,\delta \mathrm {L} +\mathrm {M} \,\delta \mathrm {M} +\mathrm {N} \,\delta \mathrm {N} \right){\Big ]}_{0}\,;$

comme on a

${\begin{aligned}\delta \psi &=\delta \chi +x\,\delta \mathrm {L} _{0},\\\delta \mathrm {L} &={\frac {d}{dx}}\,\delta \chi +\delta \mathrm {L} _{0},\\\delta \mathrm {M} &={\frac {d}{dy}}\,\delta \chi ,\\\delta \mathrm {N} &={\frac {d}{dz}}\,\delta \chi ,\\\end{aligned}}$