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DOUBLE RÉFRACTION

On obtiendrait d’une manière analogue

$\mathrm {A} c=\mathrm {C} a\,;$

nous avons donc

${\frac {\mathrm {A} }{a}}={\frac {\mathrm {B} }{b}}={\frac {\mathrm {C} }{c}}=\mathrm {D} ,$

et par suite,

$d\varphi =\sum \mathrm {D} (a\,dx+b\,dy+c\,dz)\sin \theta =\sum \mathrm {D} \,\sin \theta \,d\theta .$

En intégrant nous aurons

$\varphi =-\sum \mathrm {D} \,\cos \theta +\mathrm {C} ^{te}$

$\varphi$ est donc une fonction périodique, et puisqu’elle satisfait à $\Delta \varphi =0,$ elle doit, d’après la propriété des fonctions périodiques précédemment démontrée, se réduire à une constante. Il en résulte que $l,\,m,\,n$ qui sont les dérivées partielles de $\varphi$ ont pour valeur 0.

172. Recherche des quantités $\mathrm {L,\,M,\,N} .$ — Puisque les quantités $l,\,m,\,n$ sont nulles, le groupe d’équations (I) nous donne les relations

${\frac {d\mathrm {N} }{dy}}-{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}-{\frac {d\mathrm {N} }{dx}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}=0,$

qui expriment que

$\mathrm {L} \,dx+\mathrm {M} \,dy+\mathrm {N} \,dz$

est une différentielle exacte. En désignant par $\psi$ la fonction