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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
De l’équation (5) nous pouvons tirer une relation entre les
valeurs moyennes des quantités qui y entrent.
et
étant
des fonctions périodiques, et la valeur moyenne de la dérivée
d’une fonction périodique étant nulle, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}\left[\rho \mathrm {L} \right]_{0}=\left[\mathrm {L} -\alpha \mathrm {Q} \right]_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a18ff23185739c8a80f0e49e7101c8b52597f7f)
les quantités affectées d’un indice 0 représentant les valeurs
moyennes de ces quantités. En remplaçant
par sa valeur (4)
et en écrivant immédiatement les deux équations analogues
à la précédente qui s’en déduisent par permutation, on obtient
un nouveau groupe de relations :
(III)
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Enfin les équations (1) du mouvement nous donnent une dernière
relation. Nous en tirons en dérivant respectivement
chacune d’elles par rapport à
et additionnant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dy}}\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dz}}\rho {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\Delta &\left({\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}\right)\\&-{\frac {d^{2}\Theta }{dx^{2}}}-{\frac {d^{2}\Theta }{dy^{2}}}-{\frac {d^{2}\Theta }{dz^{2}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718aa338753482ffd35afde56119225f025676de)
ou, puisque le second membre est identiquement nul
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dy}}\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dz}}\rho {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88b5adc459a19d064f5d32e5e19eded911a67ac)
Or, pour les valeurs de
définies par les relations (2),
on a
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\mu ^{2}\mathrm {V} ^{2}\mathrm {L} e^{\mathrm {P} }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841926086aad29d9ecf3c3713d435d855b283b2e)