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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

nous aurons

$\mathrm {AV} ^{2}=a\mathrm {A} (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})-\alpha (a\alpha \mathrm {A} +b\beta \mathrm {B} +c\gamma \mathrm {C} ).$

Si nous posons

$\mathrm {H} =a\alpha \mathrm {A} +b\beta \mathrm {B} +c\gamma \mathrm {C} ,$

l’équation précédente et les deux qui s’en déduisent par permutation deviennent

${\begin{aligned}\mathrm {AV} ^{2}&=a\mathrm {A} -\alpha \mathrm {H} ,\\[1.25ex]\mathrm {BV} ^{2}&=b\mathrm {B} -\beta \mathrm {H} ,\\[1.25ex]\mathrm {CV} ^{2}&=c\mathrm {C} -\gamma \mathrm {H} .\\\end{aligned}}$

Ce sont les équations que nous avons déjà trouvées (154) en exposant la théorie de Fresnel ; elles nous montrent donc que les quantités $\mathrm {A,\,B,\,C}$ sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la vibration de Fresnel, et qu’en outre les vitesses de propagation ont les mêmes valeurs dans les deux théories.

Dans ces deux théories les vibrations ont lieu dans le plan de l’onde ; il est facile de voir qu’elles sont rectangulaires. En effet si nous multiplions les relations (2) successivement par $\mathrm {A'} ,$ $\mathrm {B'} ,$ $\mathrm {C'} ,$ et si nous additionnons, nous obtenons

$\mathrm {AA} '\!+\!\mathrm {BB} '\!+\!\mathrm {CC} '\!=\!\mathrm {A'C'} \beta \!-\!\mathrm {A'B'} \gamma \!+\!\mathrm {A'B'} \gamma \!-\!\mathrm {B'C'} \alpha \!+\!\mathrm {B'C'} \alpha \!-\!\mathrm {A'C'} \beta \!=\!0.$

La théorie de Neumann ne diffère donc de celle de Fresnel qu’en ce que la vibration au lieu d’être normale au plan de polarisation est parallèle à ce plan ; par suite toutes deux rendront également bien compte des faits expérimentaux puisque l’expérience ne peut indiquer si la vibration est parallèle ou normale au plan de polarisation.