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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

par rapport à $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,;$ nous allons démontrer que c’est l’équation du cylindre de polarisation de Neumann.

Nous allons d’abord faire voir que si le polynôme $\Pi$ est de cette forme, les équations (1) sont satisfaites quand on y remplace $\mathrm {A',\,B',\,C'}$ par $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma .$ On a en effet

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} '}}=(a\mathrm {A} +e\mathrm {C} +f\mathrm {B} ){\frac {d\mathrm {A} }{d\mathrm {A} '}}+(b\mathrm {B} &+d\mathrm {C} +f\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {B} }{d\mathrm {A} '}}\\&+(c\mathrm {C} +d\mathrm {B} +e\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {C} }{d\mathrm {A} '}}\cdot \\\end{aligned}}$

Or, si dans les relations (2) on fait $\mathrm {A} '=\alpha ,$ $\mathrm {B} '=\beta ,$ $\mathrm {C} '=\gamma ,$ on trouve $\mathrm {A} =\mathrm {B} =\mathrm {C} =0\,;$ par conséquent, quand on fera cette substitution dans l’équation précédente, les coefficients des dérivées qui entrent dans le second membre seront nuls et on aura ${\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} '}}=0.$ On démontrerait d’une manière analogue que les deux dernières des équations (1) sont également satisfaites. L’équation (3) représente donc bien un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la direction $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma .$

Pour compléter la démonstration il faut démontrer que réciproquement, si $\Pi =1$ est l’équation d’un cylindre dont les génératrices sont normales au plan de l’onde, cette équation peut se mettre sous la forme (3), $\mathrm {A,\,B,\,C}$ étant définis par les relations (2). Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer cette réciproque.

Nous pouvons prendre les axes de coordonnées de manière à faire disparaître les termes rectangles de l’équation (3) qui alors se réduit à

(4)

$\Pi =a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2}=1.$

Les nouveaux axes de coordonnées sont alors les plans de