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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

En particulier, si on a

(2)

$a+{\frac {a_{1}}{2}}=b+{\frac {b_{1}}{2}}=c+{\frac {c_{1}}{2}}=0,$

le plan de l’onde sera un plan principal de l’ellipsoïde de polarisation et les vibrations seront rigoureusement transversales et longitudinales. Les vitesses de propagation des ondes dont les vibrations sont transversales sont inversement proportionnelles aux axes de l’ellipse d’intersection ; celle de l’onde dont les vibrations sont longitudinales est proportionnelle à l’inverse de l’axe normal à l’onde, c’est-à-dire à la racine carrée de

$\mathrm {S} =\left(c+{\frac {c_{1}}{2}}\right)(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+{\frac {1}{2}}(a_{1}\alpha ^{2}+b_{1}\beta ^{2}+c_{1}\gamma ^{2})\,;$

quantité qui, par suite des relations (2), se réduit à

$\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}(a_{1}\alpha ^{2}+b_{1}\beta ^{2}+c_{1}\gamma ^{2}).$

Or, puisque $a,\,b,\,c$ sont positifs, il résulte des relations (2) que $a_{1},\,b_{1},\,c_{1}$ sont négatifs ; $\mathrm {S}$ sera négatif, la vitesse de propagation des vibrations longitudinales est imaginaire, et le rayon longitudinal évanescent.

On retrouve donc ainsi très facilement toutes les conséquences de la théorie de Fresnel.

THÉORIE DE NEUMANN

163. Hypothèses de Neumann. — Les hypothèses particulières à cette théorie trouvée presque simultanément par Lamé, Neumann et Mac-Cullagh sont les suivantes :