Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/262

248

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

plans de symétrie optique, l’équation précédente ne doit pas changer, quand on change simultanément les signes de $\alpha$ et de $\mathrm {A} ,$ ou de $\beta$ et $\mathrm {B} ,$ ou enfin de $\gamma$ et $\mathrm {C} .$ Les fonctions linéaires $\alpha _{1},\,\beta _{1},\,\gamma _{1}$ doivent donc se réduire à

$\alpha _{1}=a_{1}\alpha ,\qquad \beta _{1}=b_{1}\beta ,\qquad \gamma _{1}=c_{1}\gamma \,;$

en portant ces valeurs dans l’équation de l’ellipsoïde de polarisation, elle devient

(1)

${\begin{aligned}\Pi &=(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})(a\mathrm {A} ^{2}+b\mathrm {B} ^{2}+c\mathrm {C} ^{2})\\&+(\alpha \mathrm {A} +\beta \mathrm {B} +\gamma \mathrm {C} )(a_{1}\alpha \mathrm {A} +b_{1}\beta \mathrm {B} +c_{1}\gamma \mathrm {C} )=1.\end{aligned}}$

Si nous admettons maintenant que les forces sont centrales nous aurons entre les coefficients de cette équation, trois relations dont la première est

$\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \beta \mathrm {AB} =\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \gamma \mathrm {AC} \,;$

elle donne :

$b-4(a_{1}+b_{1})=c-4(a_{1}+c_{1}).$

Les deux autres conduisent à

${\begin{aligned}c-4(b_{1}+c_{1})=a-4(b_{1}+a_{1}),\\[1.25ex]a-4(c_{1}+a_{1})=b-4(c_{1}+b_{1}).\\\end{aligned}}$

Ces trois dernières relations peuvent d’ailleurs s’écrire

$a-4a_{1}=b-4b_{1}=c-4c_{1}\cdot$

Telles sont les conditions introduites par l’hypothèse des forces centrales ; il serait facile de montrer que, quand elles sont