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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

et par conséquent,

${\begin{aligned}\rho _{1}=2\sum \mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi &={\frac {4i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\sum \mathrm {A} \,\mathrm {D} x\sum \alpha \,\mathrm {D} x,\\[1.5ex]\rho _{2}=\sum \mathrm {D} \xi ^{2}&=\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }(\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2})\left(\sum \alpha \,\mathrm {D} x\right)^{2},\\[1.5ex]\rho _{1}^{2}&=4\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\left[\sum \mathrm {A} \,\mathrm {D} x\sum \alpha \,\mathrm {D} x\right]^{2}.\\\end{aligned}}$

Il est facile de constater que dans $\rho _{2}$

${\begin{aligned}\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \beta \mathrm {AB} &=\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\,\mathrm {D} x^{2},\\[1.5ex]\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \gamma \mathrm {AC} &=\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\,\mathrm {D} x^{2},\\\end{aligned}}$

et que dans $\rho _{1}^{2}$,

${\begin{aligned}\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \beta \mathrm {AB} &=4\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }(\mathrm {D} x^{2}\,\mathrm {D} y^{2}-\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y\,\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y)\\[1.5ex]\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \gamma \mathrm {AC} &=4\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }(\mathrm {D} x^{2}\,\mathrm {D} z^{2}-\mathrm {D} x\,\mathrm {D} z\,\mathrm {D} x\,\mathrm {D} z)\\\end{aligned}}$

Dans $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2},$ la relation

$\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {B} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \beta \mathrm {AB} =\mathrm {coef.~de} \;\alpha ^{2}\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {coef.~de} \;4\alpha \gamma \mathrm {AC}$

est donc satisfaite ; par suite elle l’est dans $\mathrm {W} _{2}$ et aussi dans $\mathrm {H} .$ Par permutations circulaires, nous pouvons en déduire deux autres. Les douze coefficients numériques du premier membre de l’équation de l’ellipsoïde de polarisation étant liés par trois relations, neuf seulement de ces coefficients sont arbitraires. Les trois relations entre les coefficients de l’équa-