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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

être remplacées par le groupe,

(5)

${\begin{aligned}\mathrm {AV} ^{2}&={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\\[1.25ex]\mathrm {BV} ^{2}&={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {B} }}\\[1.25ex]\mathrm {CV} ^{2}&={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {C} }}\cdot \\\end{aligned}}$

On pourrait résoudre analytiquement le système des trois équations précédentes ; on obtiendrait les valeurs de $\mathrm {V}$ et de $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ qui, pour des valeurs données de $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ donnent des déplacements $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ satisfaisant aux équations du mouvement. On peut également suivre la méthode géométrique indiquée par Cauchy ; c’est cette marche que nous adopterons.

146. Ellipsoïde de polarisation. — Si nous considérons $\mathrm {A,\,B,\,C}$ comme les coordonnées d’un point, l’équation $\Pi =1,$ dont le premier membre est homogène et du second degré par rapport à $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ représente une surface du second degré rapportée à son centre ; c’est l’ellipsoïde de polarisation.

Les coordonnées $\mathrm {A,\,B,\,C}$ de l’extrémité d’un axe de cette surface s’obtiendront en écrivant qu’en ce point le rayon vecteur est normal à la surface. Les cosinus directeurs de la normale étant proportionnels à ${\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }},$ ${\frac {d\Pi }{d\mathrm {B} }},$ ${\frac {d\Pi }{d\mathrm {C} }},$ et ceux du rayon vecteur au point $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ proportionnels aux coordonnées de ce point, $\mathrm {A,\,B,\,C}$ devront satisfaire aux équations,

(6)

${\begin{aligned}\mathrm {AS} &={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\\[1.25ex]\mathrm {BS} &={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {B} }}\\[1.25ex]\mathrm {CS} &={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {C} }}\cdot \\\end{aligned}}$